在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办法.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y',作Y'Z'∥CA,交BD于点Z',并在AB上取一点A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,过点A作AZ∥A'Z',交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.
则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得 .∴ .
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
任务:
我们知道,三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线相交于一点,事实上,三角形还具有性质:三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质,只用直尺(不带刻度)作图.
①如图2,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,作BC的中点F.
②如图3,在由小正方形组成的4×3的网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,作△ABC的高AH.