广东省深圳市南山区深中创新学校2023-2024学年九年级上...

更新时间：2024-04-19 浏览次数：4 类型：月考试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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2. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为6，则弦BC的长为（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（）

A . 2 B . π C . 4－π D . π－2

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4. 如图，已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a＋2b＋c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at²＋bt≤a＋b．其中正确的有（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ③④⑤ D . ①④⑤

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5. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²＋c（a≠0）与一次函数y＝ax＋c（a≠0）的图象大致是（）

A . B . C . D .

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6. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝ $\text{[math]}$ ，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（）

A . 10m B . 12m C . 24m D . 48m

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7. 下列四个命题中不正确的是（）

A . 直径是弦 B . 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C . 顶点在圆周上的角是圆周角 D . 半径相等的两个半圆是等弧

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8. 对于二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），规定函数y＝ $\text{[math]}$ 是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（－ $\text{[math]}$ ， 1），（ $\text{[math]}$ ， 1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝－x²＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）

A . －3＜n≤－1或 $\text{[math]}$ B . －3＜n＜－1或 $\text{[math]}$ C . n≤－1或 $\text{[math]}$ D . －3＜n＜－1或n≥1

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9. 如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4 $\text{[math]}$ cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2 $\text{[math]}$ cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 12cm C . $\text{[math]}$ D . 14cm

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于．

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12. (2022·番禺模拟) 如图，正六边形 $\text{[math]}$ 的边长为2，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x²＋b，若AB长为4，则图中CD的长为．

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14. 如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC＝2，则AB的长为．

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15. 如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧 $\text{[math]}$ 的中点，则△APB的面积为．

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三、解答题（共55分）

16. 计算：
1. （1） sin²30°＋2sin60°＋tan45°＋cos²30°；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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17. 如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°．请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号．
1. （1）求点D到地面的距离；
2. （2）求立柱AB的高为多少米．
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18. 如图
【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795－1881）曾给出了一元二次方程x²＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0），N（n，0），则m，n为方程x²＋bx＋c＝0的两个实数根．
1. （1）【自主探究】由勾股定理得，AM²＝1²＋m² ， BM²＝c²＋（－b－m）² ， AB²＝（1－c）²＋b² ，在Rt△ABM中，AM²＋BM²＝AB² ，所以1²＋m²＋c²＋（－b－m）²＝（1－c）²＋b² ．化简得：m²＋bm＋c＝0．同理可得：．所以m，n为方程x²＋bx＋c＝0的两个实数根．
2. （2）【迁移运用】在图2中的x轴上画出以方程x²－3x－2＝0两根为横坐标的点M，N．
3. （3）已知点A（0，1），B（4，－3），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
4. （4）【拓展延伸】在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a），B（－b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是．
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19. 如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且 $\text{[math]}$ ，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
1. （1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
2. （2）连接BE和OC交于点F，若AB＝4，∠BAC＝30°，
  ①求证：四边形DEFC是矩形；
  ②求图中阴影部分的面积．
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20. 一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离4m处跳起投篮篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
1. （1）求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
2. （2）求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
3. （3）已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？
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21. (2023九上·石家庄月考) 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 $\text{[math]}$ ，连杆 $\text{[math]}$ ，悬臂 $\text{[math]}$ 和安装在 $\text{[math]}$ 处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，固定 $\text{[math]}$ ，可通过调试悬臂 $\text{[math]}$ 与连杆 $\text{[math]}$ 的夹角提高拍摄效果．
1. （1）当悬臂 $\text{[math]}$ 与桌面 $\text{[math]}$ 平行时， $\text{[math]}$ ＝°
2. （2）问悬臂端点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离约为多少?
3. （3）已知摄像头点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂 $\text{[math]}$ 与连杆 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 的度数约为多少?（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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22. 如图1，已知抛物线y＝ax²－4ax＋c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(m，0)，C(0，－3)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．
1. （1）填空：m＝，a＝，c＝；
2. （2）如图1，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；
3. （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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