如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．

1. (2023八下·北辰期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点O是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，过点O作直线 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的角平分线于点E，交 $\text{[math]}$ 的外角平分线于点F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）当点O运动到何处时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形？并证明你的结论．
5. （3）当点O运动到何处，且 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形？并说明理由．

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1. (2023八下·北辰期中) 如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线 ， 设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．